今天看到mitbbs上再讨论car loan的问题，特别是0% APR对discount的问题。很多dealer提供0% apr或者xxx discount。那么究竟应该选哪一种呢？让我们来计算一下吧。假定最后成交价15k，dealer提供了两个选择，0% apr，36个月或者7.99% apr，36个月，1k discount。如果可以动用的银行存款有$15k，那么应该选择哪一个option呢：Option1：贷款15k，0 apr；Option2：贷款14k，7.99% apr；还是Option3：一次付清14k？

为了简化计算，让我们假定一个月30天，一年360天，36个月1080天。7.99% apr换算成日利率时7.99% / 360 = 0.0222%。

那么每个月应该付多少钱呢？对于Option1，很简单，是15k / 36 = 416.67。对于Option2，绞尽了脑汁也没想出来怎么算，最后只好偷懒，从网上找了一个calculator（http://auto-loan.interest.com/content/calculators/simple.asp），结果是438.64。用excel微调了一下，最后结果是438.81。

首先假定，钱就放在checking里，没有任何利息。对于Option1，36个月一共付了15k，checking上还有0k。对于Option2，36个月一共付438.63 * 36 = 15797.16，checking上还欠了银行797.16。对于Option3，一次付清14k，节余1k。看起来3 > 1 > 2。那么在同样的apr条件下，要拿到多少discount才能使Option2比Option1要好呢？我们可以倒推出来，只要每个月Option2的payment比Option1少就可以了。这样算出来的结果是大约12%，就是1800 discount。这样，Option2贷款13.2k，每月付413.73，36个月一共付14891.78，节余108.22。

再来看一下，如果用这笔钱来投资，会是什么结果。为了方便计算，我们假定每个月的最后一天投资的汇报会存到account上，然后在同一天，car payment从account上支出。

对于Option1和Option2，答案和上面的例子类似。我们只考虑Option1和Option3。这样问题就成了，投资的回报要达到多少，我们才会选择0% apr？

我们先来假定把钱放在INGDirect里，apr 3%，日利率3% / 360 = 0.00833%
对于Option1，在第一个月的最后一天，本利 = 15000 * power(1.0000833, 30) = 15037.55，payment = 416.67。那么第一个月之后，balance = 15037.55 – 416.67 = 14620.88。在第二个月的最后一天，本利 = 14620.88 * power(1.0000833, 30) = 14657.48，payment = 416.67。第二个月之后，balance = 14657.48 – 416.67 = 14240.81。如此算下去，到第36个月之后，balance = 736.48。
对于Option3，车款一次付清，节余1k，36个月之后的balance = 1000 * power (1.000083, 1080) = 1094.17。
然我们来慢慢增加回报率，当apr达到4.5%的时候，Option1的balance = 1138.42，Option3的balance = 1144.53。当apr = 4.6%的时候，Option1的balance = 1166.06，Option3的balance = 1147.97。

结论：当投资的回报高于4.5%的时候，一次付清就没有任何吸引力了。至于选择0% apr还是discount，主要看discount的多少和discount的apr。

补充：刚刚查到的monethly payment的计算方法：
mp = p * i / (1 - power((1 + i), -m))
mp - monthly payment
p - 贷款额
i - 月利率 = apr / 12
m - 还贷期限（月）